微分公式全集

微分是微積分的一個重要組成部分，它涉及到函數在某一點的變化率，即導數。在數學、物理、工程等多個領域，微分都扮演著至關重要的角色。以下是微分公式的一些基本形式和推導，涵蓋了常見的初等函數以及鏈式法則、隱函數微分法等高級技巧。

一、基本初等函數的微分公式

1. 常數函數的微分

(C)' = 0

其中C為常數。

2. 冪函數的微分

(x^n)' = nx^(n-1)

特別地，當n=1時，(x)' = 1；當n=0時，(x^0)' = (1)' = 0，但需要注意x≠0（因為0的0次方在數學中是未定義的）。

3. 指數函數的微分

(a^x)' = a^x * lna

特別地，當a=e（自然對數的底數）時，(e^x)' = e^x。

4. 對數函數的微分

(log_a x)' = 1/(x * lna)

特別地，當a=e時，(ln x)' = 1/x。

5. 三角函數的微分

(sin x)' = cos x

(cos x)' = -sin x

(tan x)' = sec^2 x = 1/(cos^2 x)

(cot x)' = -csc^2 x = -1/(sin^2 x)

(sec x)' = sec x * tan x

(csc x)' = -csc x * cot x

6. 反三角函數的微分

(arcsin x)' = 1/√(1-x^2)

(arccos x)' = -1/√(1-x^2)

(arctan x)' = 1/(1+x^2)

(arccot x)' = -1/(1+x^2)

(arcsec x)' = 1/(x√(x^2-1))

(arccsc x)' = -1/(x√(x^2-1))

二、微分的基本法則

1. 加法法則

(u+v)' = u' + v'

2. 減法法則

(u-v)' = u' - v'

3. 乘法法則

(uv)' = u'v + uv'

4. 除法法則

(u/v)' = (u'v - uv')/v^2 （其中v≠0）

5. 鏈式法則

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

鏈式法則是復合函數求導的關鍵，它允許我們通過中間變量來求解復雜函數的導數。

三、高階微分

高階微分是指對函數進行多次微分的過程。例如，二階微分是函數的一階導數的導數，記為f''(x)。類似地，可以定義三階、四階等高階微分。

1. 二階微分公式

對于基本初等函數，其二階微分可以直接通過一階微分公式推導出來。例如，對于冪函數x^n，其二階微分為(x^n)'' = n(n-1)x^(n-2)。

2. 萊布尼茨公式（高階鏈式法則）

對于復合函數f(g(x))，其n階微分可以通過萊布尼茨公式來計算，即

(f(g(x)))^n = Σ [C_n^k * f^(k)(g(x)) * (g(x))^(n-k)]

其中C_n^k是組合數，表示從n個不同元素中取出k個元素的組合數；f^(k)(g(x))表示f(g(x))的k階導數；(g(x))^(n-k)表示g(x)的(n-k)階導數。

四、隱函數的微分

有時，我們遇到的函數關系并不是顯式的，而是隱式的，即y通過某個方程與x相關聯，而不是直接表示為x的函數。在這種情況下，我們可以使用隱函數的微分法來求解y關于x的導數。

1. 隱函數微分法的基本步驟

（1）將給定的隱函數方程整理為關于x和y的等式；

（2）對方程兩邊同時關于x求導，注意要使用鏈式法則和乘法法則等；

（3）解出dy/dx，即y關于x的導數。

2. 示例

考慮隱函數方程x^2 + y^2 = 1，我們可以將其改寫為關于x和y的等式，并對兩邊同時關于x求導，得到

2x + 2y * dy/dx = 0

解出dy/dx，得到

dy/dx = -x/y

這就是隱函數y=√(1-x^2)（在第一象限）關于x的導數。

五、參數方程的微分

有時，一個函數y可以表示為另一個變量t的函數，而t又是x的函數。在這種情況下，我們可以使用參數方程的微分法來求解y關于x的導數。

1. 參數方程微分法的基本步驟

（1）寫出參數方程y=f(t)和x=g(t)；

（2）對y和x分別關于t求導，得到dy/dt和dx/dt；

（3）利用鏈式法則求出dy/dx，即y關于x的導數，公式為dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)（其中dx/dt≠0）。

2. 示例

考慮參數方程x=t^2和y=2t，我們可以對x和y分別關于t求導，得到dx/dt=2t和dy/dt=2。然后利用鏈式法則求出dy/dx，得到

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = 2 / (2t) = 1/t

這就是參數方程表示的曲線在t處的切線斜率。

綜上所述，微分公式涵蓋了從基本初等函數到復雜復合函數、隱函數和參數方程的廣泛領域。掌握這些公式和法則對于理解和應用微積分至關重要。無論是解決數學問題、進行物理計算還是進行工程設計，微分都為我們提供了強大的工具和方法。